\chapter{马歇罗尼如何计算马歇罗尼常数及其首次发表}
\author{李国斌}
\date{2025年09月06日}
	
	\begin{abstract}
		马歇罗尼常数，即欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni Constant），记作 $\gamma$，是数学分析中一个至关重要的数学常数，其值约为 $0.5772156649\ldots$。本文旨在阐述意大利数学家洛伦佐·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）计算该常数的历史背景、所采用的方法及其著作的首次发表情况。马歇罗尼在其1790年出版的著作《Adnotationes ad calculum integrale Euleri》中，将这一常数的计算精度推进至32位小数，并首次使用了符号“$\gamma$”来表示它，尽管该常数最初由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发现。本文将详细解读马歇罗尼的计算策略，并分析其工作的历史意义。
		
		\textbf{关键词：} 马歇罗尼常数；欧拉-马歇罗尼常数；$\gamma$；调和级数；对数函数；数值计算；数学史
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$ 定义为调和级数与自然对数的差值在趋于无穷时的极限：
	\[
	\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right)
	\]
	该常数在数论、特殊函数理论（如Gamma函数）和分析中无处不在。虽然瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1734年至1735年间首次定义并计算了该常数（至16位小数），但意大利数学家洛伦佐·马歇罗尼的工作同样具有里程碑意义。他并非发现者，却是重要的推进者。
	
	\section{马歇罗尼的计算方法}
	
	马歇罗尼在其1790年的著作 \textit{Adnotationes ad calculum integrale Euleri}（《欧拉积分计算注解》）中，详细记录了他将 $\gamma$ 计算至32位小数的方法。他的计算策略并非简单的直接求和，而是运用了巧妙的数学技巧以加速收敛并减少计算量。其核心方法可概括如下：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{欧拉-麦克劳林公式的应用：}\\
		马歇罗尼的核心工具是\textbf{欧拉-麦克劳林求和公式}。该公式提供了联系求和（$\sum$）与积分（$\int$）的强大工具。对于定义 $\gamma$ 的极限，可以将其表达式写作：
		\[
		\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n = \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)n^{2k}}
		\]
		其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。这个公式表明，对于较大的 $n$，差值 $\left( H_n - \ln n \right)$ 可以快速收敛到 $\gamma$，并带有一个由伯努利数表示的误差项。
		
		\item \textbf{选择最优的 $n$ 并计算余项：}\\
		马歇罗尼没有愚蠢地计算数百万项调和级数。他聪明地选择了一个\textbf{有限但足够大}的 $n$（在他的计算中，$n = 20$ 或类似的数量级），并精确计算了前 $n$ 项的和 $H_n$ 以及 $\ln n$。
		然后，他利用欧拉-麦克劳林公式的\textbf{余项}（即公式右边的求和项）来估算从 $n+1$ 到无穷大的“尾部”贡献。通过计算前几个伯努利数项（通常计算到 $k=10$ 左右），他就能将这个尾部的贡献估算得极其精确。
		
		\item \textbf{“延伸”求和至无穷：}\\
		本质上，马歇罗尼的计算可以理解为：
		\[
		\gamma \approx \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right) - \frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^2} - \frac{1}{120n^4} + \frac{1}{252n^6} - \frac{1}{240n^8} + \cdots
		\]
		通过精心计算这些修正项，他得以用一个相对较小的 $n$，获得了高达32位小数的精度。这是一种早期而卓越的\textbf{级数加速收敛}技术。
		
		\item \textbf{手工计算的艰巨性：}\\
		需要强调的是，这一切都是在没有计算机的时代完成的。计算 $H_n$、$\ln n$ 以及高阶项涉及大量的手工算术运算（包括长除法、开方等），其过程繁琐至极，是对计算者耐心和细心的极致考验。马歇罗尼的32位小数结果体现了其非凡的计算能力。
	\end{enumerate}
	
	\section{首次发表与历史意义}
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{著作：} \textit{Adnotationes ad calculum integrale Euleri}（《欧拉积分计算注解》）
		\item \textbf{作者：} Lorenzo Mascheroni
		\item \textbf{首次发表日期：} \textbf{1790年}
		\item \textbf{出版地：} 意大利帕维亚（Pavia）
	\end{itemize}
	
	在这部著作中，马歇罗尼不仅给出了 $\gamma$ 的32位小数值，还\textbf{首次提出了用希腊字母 $\gamma$（Gamma）来表示这个常数}。尽管欧拉最早使用了字母“C”和“O”，但马歇罗尼的符号“$\gamma$”因其简洁性而被后世广泛采纳，并最终成为标准。这也使得该常数被恰当地称为“欧拉-\textbf{马歇罗尼}常数”。
	
	然而，后来（约在1910年）的数学家发现，马歇罗尼计算的第20位到第32位小数存在错误。但这一瑕疵丝毫不能抹杀他工作的价值，他依然是历史上第二位系统研究并极高精度计算该常数的人。
	
	\section{结论}
	
	洛伦佐·马歇罗尼在计算欧拉-马歇罗尼常数的工作中，展现了其深厚的数学功底和高超的计算技巧。他通过巧妙应用欧拉-麦克劳林公式，将一个无穷极限问题转化为一个有限和加一系列修正项的问题，从而实现了前所未有的计算精度。他1790年的著作不仅是数值计算史上的一个壮举，也通过引入符号“$\gamma$”为这个重要的数学常数奠定了命名基础。他的工作为后世数学家更精确地计算和研究 $\gamma$ 的性质铺平了道路。
	